Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 6 क्रमचय तथा संचय Ex 6.1

प्रश्न 1.
n का मान ज्ञात कीजिए, जबकि

हल :
(i) दिया है।

प्रश्न 2.
ALLAHABAD शब्द के अक्षरों से बने विभिन्न शब्दों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल-
यहाँ पर कुल अक्षर 11 हैं। इनमें से चार A, दो L के अक्षर हैं।
अतः अभीष्ट संख्या होगी

प्रश्न 3.
TRIANGLE शब्द के अक्षरों से कितने शब्द बनाये जा सकते हैं ? इनमें से कितने शब्द T से आरम्भ एवं E पर समाप्त होते
हल-
TRIANGLE में सभी 8 अक्षर भिन्न-भिन्न हैं।
सभी 8 अक्षर लेकर क्रमचय (शब्द) बनाये जायें, तो शब्दों की कुल संख्या

प्रत्येक शब्द T से प्रारम्भ हो तथा E पर समाप्त हो तो फिर D तथा I स्थिर हो जाते हैं और इसलिए हमें केवल 6 अक्षरों को ही व्यवस्थित करना है। अतः शब्दों की संख्या होगी

प्रश्न 4.
अंकों 1, 2, 3, 4, 5, 6 से 3000 तथा 4000 के मध्य ऐसी कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, जो 5 से विभाज्य हैं ?
हल-
3000 से 4000 के मध्य प्रत्येक संख्या चार अंकों से बनती है और यह अंक 3 से आरम्भ होनी चाहिए। अतः हमें शेष 5 अंकों 1, 2, 4, 5, 6 में से केवल 3 अंकों को ही चुनकर व्यवस्थित करना है, क्योंकि यहाँ अंकों की पुनरावृत्ति नहीं करनी है।
अतः अभीष्ट संख्याओं की गिनती = ⁵P₃

इसे खण्ड बनाकर निम्नानुसार आसानी से समझा जा सकता है

अब, दूसरे भाग में हम देखते हैं कि केवल वे ही संख्याएँ 5 से विभाज्य होंगी जिनके अन्त में अंक 5 होगा। अतः 4 अंकों वाली संख्याओं में अंक 3 आरम्भ के स्थान पर तथा अंक 5 अन्तिम स्थान पर निश्चित होंगे। इस प्रकार हमें शेष 4 अंकों में से केवल 2 अंकों को ही चुनकर व्यवस्थित करना है।

इसे खण्ड बनाकर निम्नानुसार आसानी से समझा जा सकता।

प्रश्न 5.
अंकों 0, 1, 2, 3, 4, 5 से छः अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं ?
हल-
दिए गए अंक 0, 1, 2, 3, 4, 5 से छः अंकों की बनने वाली संख्याएँ = 6
किन्तु इनमें वह संख्याएँ भी शामिल हैं जो 0 से प्रारम्भ होती है। अतः 0 से प्रारम्भ होने वाली संख्याएँ

अतः दिए गए अंकों में छः अंक की बनने वाली कुल संख्याएँ

प्रश्न 6.
अंकों 1, 2, 3, 4, 5, 6 से 1000 से छोटी तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, जबकि अंकों की पुनरावृत्ति नहीं हो?
हल-
6 अंकों में से 3 अंकों को लेकर बनने वाली संख्याएँ होंगी

प्रश्न 7.
एक समिति के 15 सदस्ये एक गोल मेज के चारों ओर कितने प्रकार से बैठ सकते हैं, जबकि सचिव, अध्यक्ष के एक ओर तथा उप सचिव दूसरी ओर बैठता है ?
हल-
समिति में कुल सदस्यों की संख्या = 15
सचिव, अध्यक्ष एक ओर और उपसचिव दूसरी ओर बैठता है।
इस स्थिति में समिति में सदस्यों की संख्या = 13 हुई।
13 सदस्यों को गोल मेज के चारों ओर बैठाने के तरीके

अब सचिव, अध्यक्ष व उपसचिव को इस प्रकार बैठाने के तरीके जबकि सचिव, अध्यक्ष एक ओर और उपसचिव दूसरी ओर = 2 होंगे।
अतः दी गई शर्त के अनुसार समिति के 11 सदस्यों को गोल मेज के चारों ओर बैठाने के कुल तरीके

प्रश्न 8.
एक रेलवे लाइन पर 15 स्टेशन हैं। इसके लिए एक श्रेणी के कितने विभिन्न प्रकार के टिकट छपवाने चाहिए कि किसी भी स्टेशन से एक व्यक्ति इस लाइन के किसी अन्य स्टेशन को टिकट खरीद सके?
हल-
एक रेलवे लाइन पर 15 स्टेशन हैं। इसलिए एक स्टेशन से दूसरे स्टेशन तक जाने के लिए अलग-अलग तरह की 14 टिकट की आवश्यकता पड़ेगी। इसका अर्थ यह हुआ कि प्रत्येक स्टेशन पर 14 तरह की अलग-अलग टिकट होनी चाहिए। अतः 15 स्टेशन के लिए = 14 x 15
= 210 तरह की टिकटों की आवश्यकता होगी।
इसलिए टिकटों की आवश्यकता = 210

प्रश्न 9.
एक माला बनाने में 10 विभिन्न मोती कितने प्रकार से पिरोए जा सकते हैं, जबकि उनमें से चार विशेष मोती कभी भी पृथक् नहीं रहे ?
हल-
यहाँ पर हम चार विशेष मोती को एक मोती के बराबर मान लेंगे। इस प्रकार अब मोतियों की संख्या = 7
यहाँ पर यदि मोती दक्षिणावर्त दिशा में पिरोये जाते हैं तो माला को दूसरी ओर बदलने पर वे वामावर्त दिशा में हो जाते हैं । इस प्रकार दक्षिणावर्त और वामावर्त दिशाओं से एक ही क्रम प्राप्त होता है। अतः विन्यासों की संख्या

वे चार मोती जो कि कभी भी पृथक् नहीं होते हैं। वे आपस में 4 तरह से बदल सकते हैं।
अत: विन्यासों की कुल संख्या

प्रश्न 10.
अंकों 0, 1, 2, …… 9 से ऐसी कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, जो 6000 या इससे बड़ी तथा 7000 से छोटी हो और 5 से विभाज्य हो । जबकि किसी भी अंक की कितनी भी बार पुनरावृत्ति हो सकती है?
हल-
6000 या इससे बड़ी तथा 7000 से छोटी संख्या का मतलब है कि संख्या 6000 से 6999 तक है। हमें यहाँ संख्या 4 अंकों की बनानी है, जिसमें पहला अंक 6 रहेगा तथा अन्तिम अंक 5 या शून्य का रहेगा। यहाँ अंकों की कितनी भी बार पुनरावृत्ति हो सकती है। इसे खण्ड बनाकर अग्रानुसार आसानी से समझा जा सकता है–

प्रश्न 11.
शब्द SCHOOL के अक्षरों से कितने शब्द बनाये जा सकते हैं, जबकि दोनों O साथ-साथ नहीं आते हों ?
हल-
यहाँ पर कुल अक्षर 6 हैं। इनमें से दो O के अक्षर हैं। अतः
अभीष्ट शब्दों की संख्या

दिया गया है कि O साथ-साथ आते हैं। इसलिए दोनों अक्षरों को एक ही मान लेंगे और इससे बनने वाले शब्द = 5
इसलिए अभीष्ट शब्दों की संख्या जबकि दोनों O साथ-साथ नहीं आते हों