Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.4

प्रश्न 1.
उन प्रतिच्छेद बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ सरल रेखा 4y + 3x + 6 = 0 परवलय 2y² = 9x को काटती है।
हल-
सरल रेखा का समीकरण
4y + 3x + 6 = 0 ….(1)
परवलय को समीकरण-
2y² = 9x ….(2)
समीकरण (2) से x का मान समीकरण (1) में रखने पर

⇒ 12y + 2y² + 18 = 0
⇒ 6y + y² + 9 = 0
⇒ (y + 3)² = 0
∴y = – 3
समीकरण (2) से,
⇒ 2[-3]² = 9x
⇒ 9x = 18
∴x = 2
अतः प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक–
(2,-3)

प्रश्न 2.
परवलय y² = 8 द्वारा रेखा 4y – 3x = 8 पर काटी गई जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल-
जीवा की लम्बाई

y² = 8x की तुलना y² = 4ax से करने पर 4a = 8
∴ a = 2
4y – 3x = 8
4y = 3x + 8

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि सरल रेखा x + 1 = 1 परवलय y = x – x² को स्पर्श करती है।
हुल-
सरल रेखा और परवलय के समीकरण को हल करने पर
x + y = 1 ….(1)
y = x – x² ….(2)
समीकरण (1) तथा (2) को हल करने पर-
x + x – x² = 1
x² – 2x + 1 = 0
यह समीकरण द्विघात का है। इसके मूल बराबर होंगे और संपाती होंगे।
B² – 4AC = 0
(-2)² – 4 x 1 x 1 = 0
4 – 4 = 0
0 = 0
अतः सरल रेखा x + y = 1 परवलय y = x – x² को स्पर्श करती है।

प्रश्न 4.
परवलय y² = 4ax को रेखा lx + my + n = 0 द्वारा स्पर्श करने का प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए।
हल-
रेखा व परवलय के समीकरणों से x को लुप्त करने पर-

⇒ ly² = -4a(n + my)
⇒ ly² + 4amy + 4an = 0 ….(1)
यदि दी गई रेखा परवलय को स्पर्श करती है तो समीकरण (1) जो y में द्विघात है, के मूल समान होंगे ।
अतः (4am)² = 4.(l)(4an)
16a²m² = 16lan
⇒ am² = ln यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि x-अक्ष से “α” कोण बनाने वाली परवलय y² = 4ax की नाभीय जीवा की लम्बाई 4a cosec²α होगी।
हल-
x-अक्ष से कोण बनाने वाली जीवा का समीकरण
y = tan α . x + c ….(1)
समीकरण (1) नाभि से गुजरती है अतः
0 = tan α. a+c
c = – a tan α ….(2)
समीकरण (1) तथा (2) से नाभीय जीवा का समीकरण– |
y = tan α (x – a) ….(3)
मान लो नाभीय जीवा के छोर P(x₁, y₁) तथा Q(x₂, y₂) हैं, तो x₁, x₂ निम्न समीकरण के मूल होंगे-
tan² α (x – a)² = 4ax
tan² α(x² + a² – 2ax) = 4ax
tan² α. x² – 2ax(2 + tan² α) + a² tan² α = 0

प्रश्न 6.
वह प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए जिससे रेखा x cos α + y sin α = p परवलय y² = 4ax को स्पर्श करे।
हल-
हम जानते हैं कि परवलय y² = 4ax को रेखा y = mx + c स्पर्श करे तो

या a = mc ….(1)
दी गई रेखा से m तथा c के मान निकालने पर-
x cos α + y sin α = P

y = -x cot α + p cosec α
y = mx + c से तुलना करने पर
m = – cot α
c = p cosec α
समीकरण (1) में मान रखने पर-
a = [- cot α] p cosec α

a sin²α = -p cos α

प्रश्न 7.
निम्न परवलयों पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए
(i) y² = 6x, जो रेखा 2x – 3y = 4 के समान्तर हो।
(ii) y² = 8x, जो रेखा 2x – y + 1 = 0 के लम्बवत् हो।
हल-
(i) y² = 6x जो रेखा 2x – 3y = 4 के समान्तर है।
रेखा 2x – 3y – 4 = 0 के समान्तर रेखा का समीकरण-
2x – 3y + k = 0 ….(1)
रेखा (i) परवलय y² = 6x को स्पर्श करती है।
हम जानते हैं कि परवलय y² = 4ax को केवल y = mx + c
स्पर्श करे तो।
…(2)
परवलय y² = 6x से तथा समीकरण (1) से
समीकरण (2) में रखने पर।

या 8x – 12y + 27 = 0

(ii) y² = 8x, जो रेखा 2x – y + 1 = 0 के लम्बवत् हो।
परवलय का समीकरण y² = 8x ….(1)
रेखा 2x – y + 1 = 0 ….(2)
रेखा (2) के लम्बवत् रेखा का समीकरण–
x + 2y + λ = 0 ..(3)
चूँकि समीकरण (3) परवलय (1) को स्पर्श करती है।
∴ a = mc सूत्र से –
परवलय से-
4a = 8
a = 2
रेखी के समी. से
2y = – x – λ

x + 2y – 8 = 0

प्रश्न 8.
k के किस मान के लिए रेखा 2x – 3y – k परवलय y² = 6x को स्पर्श करेगी ?
हल-
दी गई रेखा का समीकरण
2x – 3y = k
3y = 2x – k

प्रश्न 9.
स्पर्श रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिये जो बिन्दु (4, 10) से परवलय y² = 8x पर खींची जाती है।
हल-
किसी बाह्य बिन्दु (x₁, y₁) से परवलय y² = 4ax पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के समीकरण
SS₁ = T²
(y² – 4ax)(y – 4ax₁) = [yy₁ – 2a(x + x₁)]²
यहाँ परवलय y² = 8x तथा बिन्दु (4, 10)
⇒ (y² – 8x)(10² – 8 x 4) = [y(10) – 2 x 2(x + 4)]²
⇒ (y² – 8x)(100 – 32) = (10y – 4(x + 4))²
⇒ 68(y² – 8x) = (10y – 4x – 16)²
⇒ 68y² – 544x = 100y² + 16x² + 256 – 80xy + 128x – 320y
⇒ 0 = 100y² – 68y² + 16x² + 544x + 128x + 256 – 80xy – 320y
⇒ 16x² + 32y² – 80xy + 672x – 320y + 256 = 0
⇒ 16[x² + 2y² – 5xy + 42x – 20y + 16] = 0
⇒ x² + 2y² – 5xy + 42x – 20y + 16 = 0

प्रश्न 10.
निम्न परवलयों पर अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए
(i) y² = 8x के बिन्दु (2, 4) पर
(ii) y² + 12x = 0 की नाभि के ऊपरी सिरे पर।
हल-
(i) y² = 8x के बिन्दु (2, 4) पर अभिलम्ब का समीकरण

⇒ y – 4 = -1(x – 2)
⇒ y – 4 = – x + 2
⇒ x + y – 6 = 0

(ii) परवलय y² = -12x की ऊपरी सिरे पर अभिलम्ब का समी.

(y + 6) = – (x + 3)
y + 6 + x + 3 = 0
x + y + 9 = 0

प्रश्न 11.
निम्न परवलयों पर अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए–
(i) y² = 4x जो y – 2x + 5 = 0 के समान्तर हो।
(ii) y² = 4x जो x + 3y – 1 = 0 के लम्बवत् हो।
हल-
(i) रेखा y – 2x + 5 = 0 के समान्तर रेखा का समीकरण-
y – 2x + c = 0 ….(1)
रेखा (1) परवलय y² = 4x पर अभिलम्ब होगी यदि (1) समीकरण
y = mx – 2am – am³ प्रकार की होगी।
परवलय से 4a = 4 ∴ a = 1
a का मान रखने पर
y = mx – 2m – m³
y – mx + (2m + m³) = 0
गुणांकों की तुलना करने पर
– m = – 2
m = 2 और c = (2m + m³)
∴ c = 2 x 2 + (2)³
c = 4 + 8 = 12
अतः अभिलम्ब का समीकरण होगा
y – 2x + 12 = 0

(ii) y² = 4x जो x + 3y – 1 = 0 के लम्बवत् हो।
4a = 4 ∴a = 1
दी गई रेखा के लम्बवत् रेखा का समीकरण
3x – y + k = 0 ….(1)
अभिलम्ब का समीकरण होगा
y = mx – 2am – am³
a का मान रखने पर
y = mx – 2m – m³
mx – y – (2m + m³) = 0
समीकरण (1) तथा (2) के गुणांकों की तुलना करने पर
m = 3 और k = – (2m + m³)
∴ k = – (2 x 3 + (3)³)
k = – (6 + 27) = -33
समीकरण (1) में मान रखने पर
3x – y – 33 = 0

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि रेखा 2x + y – 12a = 0 परवलय y² = 4ax पर अभिलम्ब जीवा है तथा उसकी लम्बाई 5√5a इकाई है।
हल-
दी गयी रेखा 2x + y – 12a = 0 परवलय y² = 4ax पर अभिलम्ब जीवा है। इसलिए अभिलम्ब का समीकरण
y = mx – 2am – am³
y – mx + (2am + am³) = 0 ….(1)
समीकरण (1) की तुलना दी गई रेखा से करने पर–
m = -2
-12a = 2am + am³
m का मान रखने पर
-12a = 2a(-2) + (a)(-2)³
-12a = – 4 – 8a
-12a = -12a
जो सत्य है। अतः रेखा, परवलय पर अभिलम्ब है।
रेखा और परवलय के समीकरण को हल करने पर
y² = 4ax
2x + y – 12a = 0
y = 12a – 2x
मान रखने पर
(12a – 2x)² = 4ax
144a² – 48ax + 4x² = 4ax
36a² – 12ax + x² = ax
x² – 13ax + 36a² = 0
गुणनखण्ड करने पर-
(x – 4a)(x – 9a) = 0
x = 4a, 9a
∴ y के मान होंगे–
y = 120 – 2x
= 12a – 2 x 4a
= 12a – 8a = 4a
और y = 12a – 2 x 9a
y = – 6a
अतः प्रतिच्छेद बिन्दु होंगे-
(9a, – 6a) तथा (4a, 4a)
इनके बीच की दूरी निकालने पर