Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 11 सरल रेखा Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.
उस सरल रेखा का समीकरण जो y-अक्ष के समान्तर तथा y-अक्ष के बायीं ओर 5 इकाई की दूरी पर है
(A) y = 5
(B) x = 5
(C) x = – 5
(D) y = – 5
हल :
(C)

प्रश्न 2.
उस रेखा का समीकरण जो बिन्दु (3, – 4) से होकर गुजरती है। तथा x-अक्ष के समान्तर है
(A) x = 3
(B) y = – 4
(C) x + 3 = 0
(D) y – 4 = 0
हल :
(B)

प्रश्न 3.
y-अक्ष की प्रवणता है
(A) 1
(B) 0
(C) ∞
(D) π/2
हल :
(C)

प्रश्न 4.
समीकरण

द्वारा निरूपित सरल रेखा निम्न रूप में है-
(A) सममित रूप
(B) झुकाव रूप
(C) अन्त:खण्ड रूप
(D) लम्ब रूप
हल :
(D)

प्रश्न 5.
सरल रेखा 3x – 4y = 7 के समान्तर और मूल बिन्दु से गुजरने वाले रेखा का समीकरण है-
(A) 3x – 4y = 1
(B) 3x – 4y = 0
(C) 4x – 3y = 1
(D) 3y – 4x = 0
हल :
(B)

प्रश्न 6.
मूल बिन्दु से सरल रेखा x + √3y = 1 पर डाले गए लम्ब की लम्बाई p है तो p का मान है

हल :
(B)

प्रश्न 7.
यदि रेखाएँ y = mx + 5 तथा 3x + 5y = 8 परस्पर लम्ब हैं, तो m का मान है-

हल :
(A)

प्रश्न 8.
सरल रेखा 3x – 4y + 7 = 0 पर लम्ब और बिन्दु (1, -2) में से गुजरने वाली रेखा का समीकरण होगा
(A) 4x + 3y – 2 = 0
(B) 4x + 3y + 2 = 0
(C) 4x – 3y + 2 = 0
(D) 4x – 3y – 2 = 0
हल :
(B)

प्रश्न 9.
रेखाओं y = – 2 तथा y = x + 2 के मध्य का अधिक कोण है-
(A) 145°
(B) 150°
(C) 135°
(D) 120°
हल :
(C)

प्रश्न 10.
रेखा 3x – 4y – 4 = 0 द्वारा x-अक्ष तथा y-अक्ष पर काटे गये अन्त:खण्डों की लम्बाई है-

हल :
(A)

प्रश्न 11.
बिन्दु (1, 0) तथा (-2,√3) को मिलने वाली रेखा x-अक्ष के साथ θ कोण बनाती है, जो tan θ का मान है

हल :
(D)

प्रश्न 12.
रेखा के समीकरण 2x + √3y – 4 = 0 के झुकाव रूप में बदलने पर झुकाव रूप में प्रयुक्त अचर राशि के मान हैं

हल :
(D)

प्रश्न 13.
उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (2, 3) से गुजरती है तथा x-अक्ष से 45° का कोण बनाती है।
हल-
रेखा द्वारा x-अक्ष से बनाया गया कोण = 45°
अतः रेखा का झुकाव = m = tan 45° = 1
चूँकि रेखा (2, 3) से होकर जाती है अतः बिन्दु झुकाव रूप में रेखा का समीकरण ।
⇒ y – y₁ = m(x – x₁)
⇒ y – 3 = 1(x – 2)
⇒ y – 3 = x – 2
⇒ y = x – 2 + 3
⇒ x – y + 1 = 0

प्रश्न 14.
उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (-3, 2) से गुजरती है तथा अक्षों से बराबर तथा विपरीत चिह्नों वाले अन्त:खण्ड काटती है।
हल-
माना सरल रेखा का समीकरण (अन्त:खण्ड रूप) है-
$\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1$ ….(1)
प्रश्नानुसार यह रेखा अक्षों से बराबर तथा विपरीत चिह्न वाले अन्त:खण्ड काटती है तब
a = – b ….(2)
समीकरण (1) वे (2) से।
$\frac { x }{ a } +\frac { y }{ (-a) } =1$
⇒ x – y = a ….(3)
पुनः रेखा (-3, 2) से गुजरती है अतः समीकरण (3) से
– 3 – 2 = a
⇒ a = – 5
यह मान समीकरण (3) में रखने पर, सरल रेखा का अभीष्ट समीकरण
x – y = – 5
या x – y + 5 = 0

प्रश्न 15.
यदि मूल बिन्दु से सरल रेखा 4x + 3y + a = 0 पर डाले गये लम्ब की लम्बाई 2 हो तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
दी गई रेखा है
4x + 3y + a = 0
⇒ 4x + 3y = – a
⇒ – 4x – 3y = a ….(1)
समीकरण (1) को अभिलम्ब रूप में बदलने के लिए

से दोनों पक्षों में भाग देने पर

तब मूल बिन्दु से रेखा पर डाले गए लम्ब की लम्बाई = $\frac { a }{ 5 }$
परन्तु दिया है, $\frac { a }{ 5 }$ = 2
⇒ a = 10

प्रश्न 16.
यदि किसी रेखा का अक्षों के मध्य का अन्त:खण्ड बिन्दु (5, 2) पर समद्विभाजित होता है, तो रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल-
अन्त:खण्ड रूप में रेखा का समीकरण
$\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1$

यह रेखा अक्षों को A तथा B पर मिलती है तब A के निर्देशांक (a, 0) तथा B के निर्देशांक (0, b) होगा। प्रश्नानुसार अक्षों के मध्य को
अन्त:खण्ड अर्थात् AB, बिन्दु (5, 2) पर समद्विभाजित होता है । अतः

⇒ a = 10, b = 4
अतः रेखा का अभीष्ट समीकरण
$\frac { x }{ 10 } +\frac { y }{ 4 } =1$
⇒ 2x + 5 = 20

प्रश्न 17.
उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (0, 1) से होकर जाती है तथा रेखा द्वारा x-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड y-अक्ष पर काटे गये अन्त:खण्ड का तिगुना हो ।
हल-
अन्त:खण्ड रूप में रेखा का समीकरण
$\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1$ ….(1)
प्रश्नानुसार,
x-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड = 3 x y-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड
⇒ a = 3b ….(2)
समी. (1) व (2) से

x + 3y = 3b ….(3)
पुनः अभीष्ट रेखा (0, 1) से जाती है तब यह बिन्दु रेखा के समीकरण (3) को सन्तुष्ट करेगा तब
0 + 3(1) = 3b
⇒ 3b = 3
⇒ b = 1 ….(4)
समीकरण (3) व (4) से रेखा का अभीष्ट समीकरण
x + 3y = 3(1)
या x + 3y = 3

प्रश्न 18.
सरल रेखाएँ y = 2mx + c एवं 2x – y + 5 = 0 परस्पर समान्तर एवं लम्बवत् हों तो m के मान ज्ञात कीजिए।
हल-
दी गई रेखाएँ हैं
y = 2mx + c ….(1)
दूसरी रेखा 2x – y + 5 = 0
y = 2x + 5 ….(2)
रेखा (1) व (2) यदि समान्तर है तब 2m = 2
m = 1
रेखा (1) व (2), यदि लम्बवत् है तब
(2m)(2) = – 1
4m = – 1 [m1m2 = -1]
m = $-\frac { 1 }{ 4 }$

प्रश्न 19.
मूल बिन्दु से सरल रेखा 4x + 3y + a = 0 पर डाले गये लम्ब की लम्बाई 2 हो तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
दी गई रेखा है
4x + 3y + a = 0
⇒ 4x + 3y = – a
⇒ – 4x – 3y = a ….(1)
समीकरण (1) को अभिलम्ब रूप में बदलने के लिए

से दोनों पक्षों में भाग देने पर

तब मूल बिन्दु से रेखा पर डाले गए लम्ब की लम्बाई = $\frac { a }{ 5 }$
परन्तु दिया है, $\frac { a }{ 5 }$ = 2
⇒ a = 10

प्रश्न 20.
मूल बिन्दु से रेखा $\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1$ पर डाले गये लम्ब की लम्बाई p हो तो सिद्ध कीजिए

हल-
दी गई रेखा है-
$\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1$
bx + ay = ab ….(1)
रेखा (1) को अभिलम्बे रूप में बदलने के लिए $\sqrt { { b }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } }$ से दोनों पक्षों में भाग देते हैं ।

समीकरण (2) रेखा का अभिलम्ब रूप x cos α + y sin α = p है तब मूल बिन्दु से रेखा पर डाले गए लम्ब की लम्बाई