Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 10 सीमा एवं अवकलज Ex 10.1

प्रश्न 1.
प्रदर्शित कीजिए कि फलन

की x = 1 पर दायीं सीमा एवं बायीं सीमा समान हैं तथा इनका मान 1 है।
हल :
दिया गया फलन
$f(x)=\frac { logx }{ x-1 }$
x = 1 पर दायीं सीमा

= 1 – 0 + 0 = 1
⇒ f(1 + 0) = 1 ….(1)
x = 1 पर बायीं सीमा

अत: सिद्ध होता है कि $f(x)=\frac { logx }{ x-1 }$ की x = 1 पर दायीं सीमा एवं बायीं सीमा समान हैं तथा इनका मान 1 है।

प्रश्न 2.
क्या x = 0 पर फलन $f(x)=\frac { x+|x| }{ x }$ की सीमाएँ अस्तित्व में है।
हल :
दिया गया फलन
$f(x)=\frac { x+|x| }{ x }$
x = 0 पर फलन की दायीं सीमा

f(0 + 0) = 2 ….(1)
x = 0 पर फलन की बायीं सीमा

f(0 + 0) = 0 …..(2)
समीकरण (1) व (2) से स्पष्ट है कि
f(0 + 0) ≠ f(0 – 0)
इसलिए x = 0 पर दिये गये फलन की सीमा अस्तित्व में नहीं है।

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि x = 0 पर फलन f(x) = |x| + |x – 1| की सीमाएँ अस्तित्व में हैं।
हल :
दिया गया फलन है :
f(x) = |x| + |x + 1|
x = 0 पर बायीं सीमा

x = 0 पर दायीं सीमा

∴ x = 0 पर फलन f(x) = |x| + |x – 1| की सीमाएँ अस्तित्व में है।

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि x = 2 पर फलन

की सीमाएँ अस्तित्व में नहीं हैं।
हल-
x = 2 पर फलन की बायीं सीमा

x = 2 पर फलन की दायीं सीमा

= 4 + 0 + 0 + 2 + 0 + 2
= 8
स्पष्ट है कि f(2 – 0) ≠ f(2 + 0)
∴दिए गए फलन की x = 2 पर सीमाएँ अस्तित्व में नहीं हैं।

प्रश्न 5.
फलन f(x) = $xcos\frac { 1 }{ x }$ की x = 0 पर दायीं सीमा एवं बायीं सीमा ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया गया फलन f(x) = $xcos\frac { 1 }{ x }$
x = 0 पर फलन की दायीं सीमा

= 0 x [-1, 1] के बीच कोई परिमित राशि के
⇒ f(0 + 0) = 0 …..(1)
x = 0 पर फलन की बायीं सीमा

= 0 x [-1, 1] के बीच कोई परिमित राशि
f(0 – 0) = 0 …..(2)